๐ง ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ๋ฏธ์ ๋ถํ์ผ๋ก ํ์ด๋ณด์! ๐ค
์๋ , ์ํ ๋ํ๋ค! ์ค๋์ ์ ๋ง ํฅ๋ฏธ์ง์งํ ์ฃผ์ ๋ก ์ฌ๋ฌ๋ถ๊ณผ ํจ๊ป ์ํ์ ์ธ๊ณ๋ก ๋น ์ ธ๋ณผ ๊ฑฐ์ผ. ๋ฐ๋ก ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ๋ฏธ์ ๋ถํ์ผ๋ก ์ค๋ช ํ๋ ๊ฑฐ์ง. ์ด๋ ต๊ฒ ๋ค๋ฆด ์ ์๊ฒ ์ง๋ง, ๊ฑฑ์ ๋ง! ๋ด๊ฐ ์น๊ตฌ์ฒ๋ผ ์ฌ๋ฏธ์๊ฒ ์ค๋ช ํด์ค ํ ๋๊น. ๐
์ฐ๋ฆฌ๊ฐ ์ดํด๋ณผ ๋ด์ฉ์ '์ํ' ์นดํ ๊ณ ๋ฆฌ ์ค์์๋ '์ด๋ ค์ด ์ํ'์ ์ํ๋ ๊ฑฐ์ผ. ํ์ง๋ง ์ด ๊ธ์ ๋ค ์ฝ๊ณ ๋๋ฉด, ๋๋ ๋์ก์ด๋ฅผ ๋ณผ ๋๋ง๋ค "์, ์ ๊ธฐ ๋ฏธ์ ๋ถํ์ด ์จ์ด์๋ค!"๋ผ๊ณ ๋งํ ์ ์์ ๊ฑฐ์ผ. ์, ๊ทธ๋ผ ์์ํด๋ณผ๊น? ๐
๐จ ์ฌ๋ฅ๋ท ๊ฟํ: ํน์ ์ํ์ ๊ด์ฌ ์๋ ์น๊ตฌ์ผ? ์ฌ๋ฅ๋ท(https://www.jaenung.net)์์ ์ํ ํํฐ๋ง์ ๋ฐ์๋ณด๋ ๊ฑด ์ด๋? ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ์ฒ๋ผ ๋ณต์กํด ๋ณด์ด๋ ์ํ ๋ฌธ์ ๋ ์ ๋ฌธ๊ฐ์ ๋์์ ๋ฐ์ผ๋ฉด ์ฝ๊ฒ ํ ์ ์์ ๊ฑฐ์ผ!
1. ํ๋ํ์ด ๋ญ์ผ? ๐ค
ํ๋ํ(Fractal)์ด๋ผ๋ ๋ง, ๋ค์ด๋ณธ ์ ์์ด? ์์ด๋ ๊ด์ฐฎ์. ์ง๊ธ๋ถํฐ ์์๊ฐ ๊ฑฐ๋๊น! ํ๋ํ์ ์๊ธฐ ์ ์ฌ์ฑ(self-similarity)์ ๊ฐ์ง ๊ธฐํํ์ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ๋งํด. ์ฝ๊ฒ ๋งํ๋ฉด, ์ ์ฒด ๋ชจ์์ด ๊ทธ ์์ ์์ ๋ถ๋ถ๊ณผ ๋น์ทํ ๋ชจ์์ ๊ณ์ ๋ฐ๋ณตํ๋ ๊ฑฐ์ง.
์๋ฅผ ๋ค์ด๋ณผ๊น? ๋ธ๋ก์ฝ๋ฆฌ๋ฅผ ๋ณธ ์ ์์ง? ๋ธ๋ก์ฝ๋ฆฌ ์ ์ฒด ๋ชจ์์ด ์์ ๊ฐ์ง ํ๋ํ๋์ ๋น์ทํ๋ค๋ ๊ฑธ ์ ์ ์์ด. ์ด๊ฒ ๋ฐ๋ก ์์ฐ์์ ๋ณผ ์ ์๋ ํ๋ํ์ ํ ์์ผ. ๐ฎ
์, ์ด์ ํ๋ํ์ด ๋ญ์ง ๋์ถฉ ๊ฐ์ด ์์ง? ๊ทธ๋ผ ์ด์ ๋ณธ๊ฒฉ์ ์ผ๋ก ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ์ ๋ํด ์์๋ณด์๊ณ ! ๐๏ธ
2. ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ ๐จ๏ธ
๋์ก์ด๋ฅผ ์์ธํ ๋ณธ ์ ์์ด? ์๋ง ์์ ๊ฑฐ์ผ. ๋์ก์ด๋ ๋๋ฌด ์๊ณ ๋นจ๋ฆฌ ๋ น์๋ฒ๋ฆฌ๋๊น. ํ์ง๋ง ํ๋ฏธ๊ฒฝ์ผ๋ก ๋ณธ ๋์ก์ด๋ ์ ๋ง ๋๋ผ์. ์๋๊ณ ? ๋ฐ๋ก ์๋ฒฝํ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ๊ฐ์ง๊ณ ์๊ฑฐ๋ !
๋์ก์ด์ ๊ธฐ๋ณธ ๊ตฌ์กฐ๋ ์ก๊ฐํ์ด์ผ. ์ด ์ก๊ฐํ์ ๊ฐ ๋ณ์์ ์์ ๊ฐ์ง๊ฐ ๋ป์ด ๋์ค๊ณ , ๊ทธ ๊ฐ์ง์์ ๋ ๋ ์์ ๊ฐ์ง๊ฐ ๋ป์ด ๋์. ์ด๋ฐ ์์ผ๋ก ๊ณ์ ๋ฐ๋ณต๋๋ ๊ฑฐ์ง. ๋ง์น ๋๋ฌด๊ฐ ๊ฐ์ง๋ฅผ ๋ป๋ ๊ฒ์ฒ๋ผ ๋ง์ด์ผ. ๐ณ
์ด๋ฐ ๊ตฌ์กฐ๊ฐ ์ ์๊ธฐ๋ ๊ฑธ๊น? ๊ทธ๊ฑด ๋ฐ๋ก ๋ฌผ ๋ถ์์ ํน์ฑ ๋๋ฌธ์ด์ผ. ๋ฌผ ๋ถ์๋ ์๋ก 60๋ ๊ฐ๋๋ก ๊ฒฐํฉํ๋ ค๋ ์ฑ์ง์ด ์์ด. ์ด ๋๋ฌธ์ ๋์ก์ด๊ฐ ์๋ ๋ ํญ์ 60๋ ๊ฐ๊ฒฉ์ผ๋ก ๊ฐ์ง๋ฅผ ๋ป๊ฒ ๋๋ ๊ฑฐ์ง. ์ ๊ธฐํ์ง ์์? ๐คฏ
๐ก ์ฌ๋ฅ๋ท ์์ด๋์ด: ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ์์ ์๊ฐ์ ๋ฐ์ ๋์์ธ์ ๋ง๋ค์ด๋ณด๋ ๊ฑด ์ด๋? ์ฌ๋ฅ๋ท(https://www.jaenung.net)์์ ๋์์ธ ์ ๋ฌธ๊ฐ๋ฅผ ์ฐพ์ ํ์ ํด๋ณด๋ฉด ์ ๋ง ๋ฉ์ง ์ํ์ด ๋์ฌ ์ ์์ ๊ฑฐ์ผ!
3. ๋ฏธ์ ๋ถํ์ผ๋ก ๋์ก์ด ์ค๋ช ํ๊ธฐ ๐
์, ์ด์ ์ง์ง ์ด๋ ค์ด ๋ถ๋ถ์ด ์์ด. ํ์ง๋ง ๊ฑฑ์ ๋ง! ์ฒ์ฒํ ์ค๋ช ํ ํ ๋๊น ๋ฐ๋ผ์ ๋ด. ์ฐ๋ฆฌ๋ ์ด์ ๋ฏธ์ ๋ถํ์ ์ฌ์ฉํด์ ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ์ค๋ช ํ ๊ฑฐ์ผ. ๐
๋จผ์ , ๋์ก์ด์ ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ์ํ์ ์ผ๋ก ํํํ๊ธฐ ์ํด ์ฝํ ๊ณก์ (Koch curve)์ด๋ผ๋ ๊ฑธ ์ฌ์ฉํ ๊ฑฐ์ผ. ์ฝํ ๊ณก์ ์ ๋์ก์ด์ ๋น์ทํ ๋ชจ์์ ๋ง๋ค์ด๋ด๋ ํ๋ํ ๊ณก์ ์ด์ผ.
์ฝํ ๊ณก์ ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ณผ์ ์ผ๋ก ๋ง๋ค์ด์ ธ:
- ์ง์ ์ผ๋ก ์์ํด.
- ๊ทธ ์ง์ ์ 3๋ฑ๋ถํด.
- ๊ฐ์ด๋ฐ ๋ถ๋ถ์ ์ผ๊ฐํ ๋ชจ์์ผ๋ก ์ฌ๋ ค.
- ์ด ๊ณผ์ ์ ๋ฌดํํ ๋ฐ๋ณตํด.
์ด์ ์ด ์ฝํ ๊ณก์ ์ ๋ฏธ์ ๋ถํ์ผ๋ก ์ด๋ป๊ฒ ์ค๋ช ํ ์ ์๋์ง ์์๋ณด์!
3.1 ์ฝํ ๊ณก์ ์ ๊ธธ์ด ๐
์ฝํ ๊ณก์ ์ ๊ธธ์ด๋ ๊ฐ ๋จ๊ณ๋ง๋ค ์ด๋ป๊ฒ ๋ณํ ๊น? ํ๋ฒ ๊ณ์ฐํด๋ณด์!
- ๋จ๊ณ 0: ๊ธธ์ด = 1 (์์ ์ง์ )
- ๋จ๊ณ 1: ๊ธธ์ด = 4/3 (4๊ฐ์ ์ ๋ถ, ๊ฐ๊ฐ 1/3 ๊ธธ์ด)
- ๋จ๊ณ 2: ๊ธธ์ด = (4/3)ยฒ = 16/9
- ๋จ๊ณ 3: ๊ธธ์ด = (4/3)ยณ = 64/27
๋ณด์ด๋ ํจํด์ด ์์ด? ๋ง์, ๊ฐ ๋จ๊ณ๋ง๋ค ๊ธธ์ด๊ฐ 4/3๋ฐฐ์ฉ ๋์ด๋๊ณ ์์ด. ์ด๊ฑธ ์์์ผ๋ก ํํํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์:
์ฝํ ๊ณก์ ์ n๋จ๊ณ ๊ธธ์ด: L(n) = (4/3)โฟ
๊ทธ๋ฐ๋ฐ ์ฌ๊ธฐ์ ์ฌ๋ฏธ์๋ ์ ์, n์ด ๋ฌดํ๋๋ก ๊ฐ ๋ (์ฆ, ํ๋ํ์ด ์์ฑ๋ ๋) ์ฝํ ๊ณก์ ์ ๊ธธ์ด๊ฐ ์ด๋ป๊ฒ ๋ ๊น? ํ๋ฒ ๊ทนํ์ ๊ตฌํด๋ณด์!
lim(nโโ) L(n) = lim(nโโ) (4/3)โฟ = โ
์! ์ฝํ ๊ณก์ ์ ๊ธธ์ด๋ ๋ฌดํ๋๊ฐ ๋ผ. ์ด๊ฒ ๋ฐ๋ก ํ๋ํ์ ์ ๊ธฐํ ์ ์ด์ผ. ์ ํํ ๊ณต๊ฐ ์์ ๋ฌดํํ ๊ธธ์ด์ ๊ณก์ ์ด ๋ค์ด๊ฐ ์ ์๋ค๋, ์ ๋ง ๋๋์ง ์์? ๐คฏ
3.2 ์ฝํ ๊ณก์ ์ ๋ฉด์ ๐ฒ
์ด๋ฒ์ ์ฝํ ๊ณก์ ์ผ๋ก ๋ง๋ค์ด์ง๋ ๋์ก์ด ๋ชจ์(์ฝํ ๋์ก์ด)์ ๋ฉด์ ์ ๊ตฌํด๋ณผ๊น? ์ฝํ ๋์ก์ด๋ ์ ์ผ๊ฐํ์์ ์์ํด์ ๊ฐ ๋ณ์ ์ฝํ ๊ณก์ ์ ์ ์ฉํ ๋ชจ์์ด์ผ.
์ฝํ ๋์ก์ด์ ๋ฉด์ ์ ๊ตฌํ๋ ๊ณผ์ ์ ๋ฐ๋ผ๊ฐ ๋ณด์:
- ์์ ์ ์ผ๊ฐํ์ ๋ฉด์ ์ Aโ๋ผ๊ณ ํ์.
- ์ฒซ ๋ฒ์งธ ๋จ๊ณ์์ ์ถ๊ฐ๋๋ ์ผ๊ฐํ๋ค์ ์ด ๋ฉด์ ์ Aโ์ 1/3 ร 1/3 ร 3 = 1/9Aโ์ด์ผ.
- ๋ ๋ฒ์งธ ๋จ๊ณ์์ ์ถ๊ฐ๋๋ ์ผ๊ฐํ๋ค์ ์ด ๋ฉด์ ์ Aโ์ 1/9 ร 1/3 ร 4 = 4/81Aโ์ด์ผ.
- ์ด๋ฐ ์์ผ๋ก ๊ณ์ ์งํ๋ผ.
์ด๊ฑธ ์์ด๋ก ํํํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์:
์ฝํ ๋์ก์ด์ ๋ฉด์ : A = Aโ + 1/9Aโ + 4/81Aโ + 16/729Aโ + ...
์ด ์์ด์ ํฉ์ ๊ตฌํ๋ฉด ์ฝํ ๋์ก์ด์ ์ ํํ ๋ฉด์ ์ ์ ์ ์์ด. ์ด ํฉ์ ๋ฌดํ๋ฑ๋น๊ธ์์ ํฉ ๊ณต์์ ์ด์ฉํด ๊ตฌํ ์ ์์ง:
A = Aโ ร (1 + 1/3 ร 4/3 / (1 - 4/9)) = 8Aโ/5
๋๋์ง ์์? ๋ฌดํํ ๋ณต์กํ ๋ชจ์์ธ ์ฝํ ๋์ก์ด์ ๋ฉด์ ์ด ์์ ์ผ๊ฐํ ๋ฉด์ ์ 8/5๋ฐฐ๋ผ๋ ์ ํํ ๊ฐ์ผ๋ก ๋์จ๋ค๋ ๊ฑฐ์ผ! ๐ฎ
๐จ ์ฌ๋ฅ๋ท ์์ด๋์ด: ์ฝํ ๋์ก์ด ๊ฐ์ ํ๋ํ ๋ํ์ ์ด์ฉํด ๋ ํนํ ํจํด์ ์ท์ ๋์์ธํ๋ฉด ์ด๋จ๊น? ์ฌ๋ฅ๋ท(https://www.jaenung.net)์์ ํจ์ ๋์์ด๋๋ฅผ ์ฐพ์ ํ์ ํด๋ณด๋ฉด ์ ๋ง ๋ฉ์ง ๊ฒฐ๊ณผ๋ฌผ์ด ๋์ฌ ๊ฑฐ์ผ!
3.3 ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ผ๋ก ๋์ก์ด ์ฑ์ฅ ๋ชจ๋ธ๋ง ๐
์, ์ด์ ์ ๋ง ์ด๋ ค์ด ๋ถ๋ถ์ด ์์ด. ํ์ง๋ง ๋๋ฌด ๊ฒ๋จน์ง ๋ง! ์ฒ์ฒํ ๋ฐ๋ผ์ ๋ด. ์ฐ๋ฆฌ๋ ์ด์ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ์ฌ์ฉํด์ ๋์ก์ด์ ์ฑ์ฅ์ ๋ชจ๋ธ๋งํ ๊ฑฐ์ผ.
๋์ก์ด๊ฐ ์๋ผ๋ ๊ณผ์ ์ ์๊ฐํด๋ณด์. ๋์ก์ด์ ๊ฐ์ฅ์๋ฆฌ์ ๋ฌผ ๋ถ์๋ค์ด ๋ถ์ผ๋ฉด์ ์๋ผ๊ฒ ๋์ง? ์ด๋ ๋์ก์ด์ ์ฑ์ฅ ์๋๋ ํ์ฌ ๋์ก์ด์ ํ๋ฉด์ ์ ๋น๋กํ๋ค๊ณ ๊ฐ์ ํ ์ ์์ด. ์ด๊ฑธ ์์์ผ๋ก ํํํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์:
๋์ก์ด ์ฑ์ฅ ๋ชจ๋ธ: dV/dt = kS
์ฌ๊ธฐ์ V๋ ๋์ก์ด์ ๋ถํผ, S๋ ํ๋ฉด์ , k๋ ๋น๋ก์์, t๋ ์๊ฐ์ด์ผ.
์ด์ ์ด ๋ฐฉ์ ์์ ํ์ด๋ณผ ๊ฑด๋ฐ, ์ฌ๊ธฐ์ ์ค์ํ ์ ์ ๋์ก์ด์ ๋ชจ์์ด ํ๋ํ์ด๋ผ๋ ๊ฑฐ์ผ. ํ๋ํ์ ํน์ฑ ๋๋ฌธ์ ๋ถํผ์ ํ๋ฉด์ ์ฌ์ด์ ํน๋ณํ ๊ด๊ณ๊ฐ ์๊ฒจ.
ํ๋ํ ๊ตฌ์กฐ์์๋ ๋ถํผ(V)์ ํ๋ฉด์ (S) ์ฌ์ด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ด๊ณ๊ฐ ์ฑ๋ฆฝํด:
S โ V^(D/3)
์ฌ๊ธฐ์ D๋ ํ๋ํ ์ฐจ์์ด์ผ. ๋์ก์ด์ ๊ฒฝ์ฐ ๋๋ต D โ 2.5 ์ ๋์ ๊ฐ์ ๊ฐ์ ธ.
์ด ๊ด๊ณ๋ฅผ ์ฐ๋ฆฌ์ ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ๋์ ํ๋ฉด:
dV/dt = kV^(D/3)
์ด์ ์ด ๋ฏธ๋ถ๋ฐฉ์ ์์ ํ๋ฉด ์๊ฐ์ ๋ฐ๋ฅธ ๋์ก์ด์ ๋ถํผ ๋ณํ๋ฅผ ์ ์ ์์ด! ํ์ด ๊ณผ์ ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์: